La verdad Plana por I. Asimov

La verdad Plana




Todos los demás axiomas de Euclides eran sumamente sencillos, pero el se dió cuenta que el postulado quinto,"si una recta corta a otras dos, formando ángulos internos, por el mismo lado, que suman menos de dos ángulos internos, por el mismo lado que suman menos de dos ángulos rectos, esas dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortan por ese lado en que los ángulos suman menos de dos rectas" en apariencia tan complicado, no podía deducirse de los restantes; por lo tanto, había que incluirlo como nuevo axioma. Varios matemáticos abordaron el problema sin solución Omar Khayyan propuso que la solución estaría dentro de tres posibilidades 1) que ambos ángulos sean rectos. 2) que sean menores que un ángulo recto. 3) que sean mayores u obtusos. Girolamo Saccheri (1667-1733) profesor de matemáticas en la Universidad de Pisa. Comenzó por suponer que le postulado quinto era falso y sustituirlo por otro axioma contradictorio a el. (Reducción al absurdo) Al llegar a esta contradicción había que cambiar el quinto cambiado y el quinto tendría que ser cierto.

Saccheri comenzó por suponer que los ángulos eran mayores que un recto. Encontró una contradicción, concluyendo que la geometría obtusa no podía ser cierta. Posteriormente S. la emprendió con la geometría aguda que supone que los ángulos son menores de 180ª. No encontraría ninguna contradicción, iba enfrentándose cada vez más con la posibilidad de que pudiese edificarse una geometría, por completo consecuente en si misma, basada en por lo menos un axioma que contradecía de lleno un postulado de Euclides. En esa época la geometría Euclidiana era la verdad Absoluta y romper con ese paradigma era romper con la verdad absoluta. Saccheri imagino que había una contradicción, donde en realidad no la había y concluyo que había demostrado el quinto de Euclides. En 1733 escribió un libro con su descubrimiento titulado “Euclides Absuelto de todo fallo”. El matemático Alemán Carlos Federico Gauss. Uno de los más grandes matemáticos. Hacia 1815 estudio el quinto de Euclides, llegando a las mismas conclusiones que el que el quinto había que postularlo como axioma porque no podía deducirse de los demás axiomas. Gauss llego a la conclusión de Sccheri: que hay otras geometrías auto consistentes que no son euclidianas en las cuales un axioma cambiado sustituye al quinto.. Pero Gauss no publico estos hallazgos. El matemático ruso Nicolai Ivanovich Lovachevsky reflexionó si una geometría no ser euclidiana y sin embargo, consistente. Con esta idea desarrollo la teoría de la “geometría Aguda” y los publico en 1829 (pero lo hizo en ruso y en una revista de Rusia central) no fue hasta 1840 cuando se conocieron sus trabajos. El matemático Húngaro Janos Bolyai. Estaba trabajando simultáneamente en el problema. Publicando en 1831 su geometría aguda. En cuanto a la geometría obtusa Sacccheri al estudiarla la halló incurso en contradicción. Pero el hecho una suposición tácita que una recta podía tener longitud infinita. Lo que originaba conflictos en la geometría obtusa. Suponiendo que toda recta ha de tener cierta longitud máxima en ese caso desea parece toda contradicción con la geometría obtusa y surge una segunda variedad de geometría no euclidiana válida. El primero en demostrarlo fue 1854 J. Riemann: Hay entonces tres tipos de geometría.

A) Geometría aguda (no euclidiana). Por un punto exterior a una recta se pueden trazar infinitas paralelas a ellas. Es decir la suma de los ángulos de todo triangulo vale menos de 180ª.

B) Geometría rectangular (euclidiana). Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una paralela a ella. Es decir la suma de los ángulos de todo triangulo vale exactamente 180ª

C) Geometría obtusa (no euclidiana) por un pto. Exterior a una recta no se pueden trazar paralelas a ella. Es decir, la suma de todo triangulo vale más de 180ª

¿Cual de las tres es la verdadera? Todas tienen aplicación en la realidad. Por ejemplo el problema de viajar del punto A al punto B en la superficie terrestre recorriendo la menor distancia posible. Suponiendo que la tierra es una esfera perfecta y que el viaje se hace por la superficie. En la esfera, a diferencia de una superficie plana obtenemos una curva, que es análoga a una línea recta en un plano, ya que esa curva es la menor distancia entre dos puntos de la superficie esférica. La línea más corta entre dos puntos en una superficie dada se llama “geodésica”. En un plano, una geodésica es una línea recta; en una esfera las geodésicas son curvas. Ellas cumplen con expuesto en la geometría obtusa. 1n 1865 Eugenio Beltrani estudio una figura llamada “seudo esfera” parecido a dos clarinetes unidos por su parte ancha y extendiéndose y estrechándose cada uno en un sentido pero sin cerrarse del todo. En la seudo esfera la geometría cumple los requisitos de la geometría aguda. ¿Cuál de las geometrías da una mejor descripción del universo? En la tierra, por ser una esfera tan grande, las partes pequeñas de ella parecen planas. En el universo hay un problema análogo. Pensamos que la luz viaja por el universo en línea recta. Pero según la teoría de la relatividad. La luz sigue geodésicas no euclidianas y constituye un caso de geometría obtusa pero es una esfera tan grande que es casi imposible medir ángulos mayores a 180ª.